Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: Страница 151. 1. Антон и Борис из примера 2 решили по очереди бросать не монету, а кубик. Выигрывает тот, у кого первого выпадет 6 очков. С какой вероятностью Антон выиграет? Обозначим вероятность выигрыша Антона как A Вероятность того, что при броске кубика выпадет 6 очков (успех) p = 1/6. Вероятность того, что при броске кубика не выпадет 6 очков (неуспех) q = 1 - p = 5/6.Антон и Борис бросают кубик по очереди. Первый бросок делает Ан-тон. Вероятность того, что Антон выигрывает с первого броска:P(А) = p = 1/6. Если Антон не выиграл в своем первом броске (с вероятностью q = 5/6), то теперь бросает Борис. Вероятность того, что Борис не выиграет в своем броске также равна q = 5/6. Если Борис тоже не выиграл, то игра возвращается к Ан-тону, и это повторяется. На этом этапе вероятность того, что Антон выиграет, становится такой же, как изначально, но после двух неудач подряд: P(выигрыш Антона после двух неудач) = P(неуспех Антона) * P(неуспех Бориса) * P(выигрыш Антона) P(выигрыш Антона после двух неудач) = q * q * P(выигрыш Антона). A = P(выигрыш Антона в первом броске) + P(неуспех Антона) * P(неуспех Бориса) * A A = (1/6) + (5/6) * (5/6) * A = 1/6 + (25/36)A; (11/36)A = 1/6. A = (1/6) / (11/36) = (1/6) * (36/11) = 6/11. ответ:Вероятность того, что Антон выиграет, равна 6/11. 2. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы вероятность появления орла была больше 0,9? Решение основано на том, что вероятность того, что одна монета окажется решкой (не орлом), равна 0,5. Для n монет эта вероятность равна 0,5n. Тогда вероятность получения хотя бы одного орла за n подбрасываний равна 1 - 0,5n. По условию, n должно быть таким, чтобы вероятность стала больше 0,9: 1 - 0,5n > 0,9. 3. Сколько кубиков нужно подбросить, чтобы вероятность появления хотя бы одной единицы была больше 0,9? Для решения задачи нужно использовать понятие вероятности и биномиального распределения. Пусть n— количество кубиков, которые подбрасываются. Вероятность выпадения единицы на одном кубике равна p=1/6, а вероятность не выпадения единицы на одном кубике равна q=1-p=5/6. Вероятность того, что ни на одном из n кубиков не выпадет единица, равна qn=(5/6)n. Следовательно, вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпадет единица, равна 1-qn=1-(5/6)n. Требуется найти наименьшее n, при котором вероятность выпадения хотя бы одной единицы больше 0,9. То есть нужно решить неравенство:1-(5/6)n > 0.9 (5/6)n < 0.1 Для решения этого неравенства применим логарифмирование: log((5/6)n) < log(0.1) ; n > log(0.1)/log(5/6); n > -1-0.0792~12.626 Так как n должно быть целым числом, наименьшее значение n, удовлетворя-ющее неравенству, равно 13.
