Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 34. Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2а и 2b. Докажите, что r2 = ab. Дано: около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2a и 2b; Доказать: r^2=ab; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция, с основаниями: AD=2a и BC=2b; 2) По свойству описанного четырехугольника: AD+BC=AB+CD = > 2a+2b=2AB, отсюда AB=a+b; 3) По свойству равнобокой трапеции: угол A = углу D; 4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB: угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы); 5) Пусть угол A = углу D=альфа, тогда угол B=180°-альфа; 6) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности, так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной трапеции, тогда: угол ODA = углу OAD=1/2 угол A=альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-альфа/2; 7) Опустим перпендикуляр OE на сторону AB и перпендикуляр OH на сторону AD, тогда: OE=OH=r; 8) Прямоугольные треугольники OAH и ODH равны по катету и проти- волежащему острому углу (OH-общий катет и угол ODH = углу OAH), отсюда: AH=HD=AD/2=2a/2=a; 9) AE=AH=a (как отрезки касательных, проведенных из одной точки); 10) BE=AB-AE=a+b-a=b; 11) Рассмотрим треугольник BOA: угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-альфа/2-90°+альфа/2=90°; 12) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой, опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB: OE=v(AE•BE); r=v(a•b) = > r^2=ab, что и требовлось доказать.
