Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: 1. Что называется ковариацией случайных величин? Ковариация случайных величин (корреляционный момент) — мера зависимости двух случайных величин. Это мера совместной изменчивости двух вели-чин. 2. Чему равна ковариация независимых случайных величин? Ковариация независимых случайных величин равна нулю. Это следует из определения ковариации и свойства математического ожидания произведения независимых величин: Cov(X, Y) = E[XY] - E[X] * E[Y] = 0. 3. Какие свойства ковариации вы знаете? Некоторые свойства ковариации: • Симметричность: Cov(X,Y) = Cov(Y,X) — порядок переменных не влияет на результат. • Линейность: Cov(aX + b, cY + d) = ac х Cov(X,Y) — умножение перемен-ных на константы масштабирует ковариацию, а прибавление констант не вли-яет на результат. • Аддитивность: Cov(X + Y, Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) — ковариация суммы переменных равна сумме ковариаций. • Самоковариация: Cov(X,X) = Var(X) — ковариация переменной с самой собой равна её дисперсии. • Масштабируемость: изменение единиц измерения (например, переход от рублей к тысячам рублей) пропорционально влияет на значение ковариации. • Если случайные величины независимы, то их ковариация всегда равна нулю. Однако обратное утверждение неверно: нулевая ковариация не гаран-тирует независимость, это лишь указывает, что между величинами нет линей-ной связи. 4. Почему по величине ковариации нельзя судить о силе зависимости случайных величин? Ковариация — мера совместной изменчивости двух случайных величин, но её величина не нормирована, и её численные значения зависят от единиц из-мерения величин.
