Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 18. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку. Доказать: каковы бы ни были две точки A и A', существует один и только один параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'; Доказательство: 1) Введем декартовы координаты на плоскости, пусть числа a1 и a2- координаты точки A, а числа a1' и a2'-координаты точки A'; 2) Параллельный перенос, заданный формулами x'=x+a1'-a1 и y'=y+a2'-a2; переводит точку A в точку A'; 3) При x=a1 и y=a2, получаем x'=a1' и y'=a2'; 4) Докажем единственность параллельного переноса: Пусть X-произвольная точка фигуры и X'-точка, в которую она переходит при параллельном переносе; 5) По свойству параллельного переноса AA' ||XX' и AA'=XX', значит AA' X' X-параллелограмм с диагоналями AX' и A' X; 6) По свойству параллелограмма: отрезки AX' и A' X имеют общую середину O; 7) Задание точки X однозначно определяет точку O-середину отрезка A' X; 8) Точки A и O однозначно определяют точку X', так как точка O является серединой отрезка AX'; 9) Однозначность в определении точки X' и означает единственность параллельного переноса, что и требовалось доказать.
