Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 3. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Доказать: площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у которого сторона AB равна a, а проведенная к ней высота равна h; 2) Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый, пусть для определенности угол A-острый; 3) Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CD, площадь трапеции ABCE равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника ADE: SABCE=SABCD+SADE; 4) Опустим перпендикуляр BF из вершины B на прямую CD, тогда площадь трапеции ABCE равна сумме площадей прямоугольника ABFE и треугольника BCF: SABCE=SABFE+SBCF; 5) Так как отрезки AE и BF равны расстоянию между параллельными прямыми AB и CD, то они являются высотами параллелограмма ABCD, опущенными на сторону AB: AE=BF=h; 6) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую DC: угол ADE=угол BCF (как соответстенные углы); 7) Тогда прямоугольные треугольники ADE и BCF равны по катету и противолежащему острому углу, значит они имеют равные площади: SADE=SBCF; 8) Значит площади параллелограмма ABCD и прямоугольника ABFE равны, то есть: SABCD=SABFE=AB•BF=a•h, что и требовалось доказать.
