Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 47 Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность. Доказать: геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность; Доказательство: 1) Пусть указанное отношение расстояний равно k; 2) Отметим любую точку M удовлетворяющую условию: AM/BM=k; 3) В треугольнике ABM проведем биссектрису MC, тогда по свойству биссектрисы: AM/AC=BM/BC = > AC/BC=AM/BM=k; То есть положение точки C не зависит от выбранной точки M; 4) Построим биссектрису внешнего угла при вершине M треугольник ABM, она пересечет прямую AB в точке D, тогда по доказанному в задаче 11.46: AD/BD=AM/BM=k; То есть положение точки D также не зависит от выбранной точки M; 5) Прямые MC и MD-биссектрисы внешнего и внутреннего углов: 2угол CMB+2угол BMD = углу AMT; 2(угол CMB+ угол BMD)=180°; 2угол CMD=180°, отсюда угол CMD=90°; 6) Отметим точку O-середину отрезка CD; 7) Достроим прямоугольный треугольник CMD до прямоугольника CMDM1, тогда O-точка пересечения диагоналей: MO=CO=OD=OM1=1/2 CD; 8) Отрезок CD не зависит от выбора точки M, значит все точки, удовлетворяющие условию, будут равноудалены от точки O, значит множество этих точек является окружностью (по определению), что и требовалось доказать.
