Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 13. Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений a/sin альфа, b/sin бета, с/sin y равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника. Доказать: в теореме синусов a/sin =b/sin =c/sin =2R, где R-радиус окружности, описанной около треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого: AB=c, BC=a, AC=b, угол A=, угол B= и угол C=; 2) Опишем около треугольника ABC окружность, с центром в точке O; 3) Проведем диаметр BD, тогда: BD=2R; 4) По свойству вписанных углов: - Если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC, тогда: угол CDB = углу BAC=a; - Если точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC, тогда: угол CDB=180°- угол BAC=180°-a (так как их соответствующие центральные углы являются дополнительными друг друг); 5) По свойству синуса угла: sina=sin(180°-a); 6) Значит, в любом случае, в прямоугольном треугольнике BCD: sin угла CDB=BC/BD = > sina=a/2R, отсюда 2R=a/sina ; Что и требовалось доказать.
