Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 11. Как изменяется сторона АВ треугольника ABC, если угол С возрастает, а длины сторон АС и ВС не меняются (рис. 272)? Дано: треугольник ABC; Выяснить: как изменяется сторона AB, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC не меняются; Решение: 1) Пусть a1 и a2-острые углы, при этом a1 > a2; 2) При возрастании острого угла его косинус уменьшается, значит: cosa1 < cosa2 ; 3) Углы (180°-a1) и (180°-a2)-тупые, при этом: (180°-a1) < (180°-a2), так как a1 > a2; 4) (180°-a1)=-cosa1 и (180°-a2)=-cosa2 , значит: cos(180°-a1) > cos(180°-a2), так как cosa1 < cosa2 ; То есть при возрастании тупого угла, его косинус уменьшается, но так как он имеет отрицательный знак, то модуль косинуса увеличивается; 5) По теореме косинусов: AB^2=BC^2+AC^2-2BC•AC•cos угла C; 6) Длины сторон BC и AC не меняются, поэтому выразим через константы: m=BC^2+AC^2 и n=2BC•AC, при этом m > 0 и n > 0; 7) Тогда: AB^2=m-n•cos угла C; 8) Пусть a1 и a2- значения угла C, при этом a1 > a2; 9) Если оба угла острые, тогда cosa1 < cosa2 , при этом оба косинуса положительные, значит: m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ; 10) Если оба угла тупые, тогда cosa1 < cosa2 , при этом оба косинуса отрицательные, значит: m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ; 11) Если угол a1 тупой, а угол a2 острый, тогда cosa1 -отрицательный, а cosa2 -положительный, значит: m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ; 12) Таким образом, во всех случаях сторона AB будет увеличиваться; Ответ: сторона AB увеличивается.
