Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из этой же вершины. Доказать: биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины; Доказательство: 1) В треугольник ABC проведем биссектрису BD, высоту BH и медиану BM; 2) BH является перпендикуляром к прямой AC, а BD-наклонной к прямой AC, проведенной из той же точки B, значит по свойству перпендикуляра и наклонных: BD > BH; 3) Пусть AB < BC, тогда угол C < угол A; 4) Рассмотрим треугольники ABH и CBH: угол AHB = углу CHB=90° и угол BCA < угол BAC, значит угол ABH < угол CBH; угол ABC = углу ABH+ угол CBH, следовательно угол ABH < 1/2 угол ABC; 5) По доказанному в предыдущей задаче: Если AB < BC, то угол ABM > угол CBM; угол ABC = углу ABM+ угол CBM, следовательно угол CBM < 1/2 угол ABC; 6) AD-биссектриса, значит угол ABD = углу CBD=1/2 угол ABC; 7) Таким образом, луч BH проходит внутри угла ABD, а луч BM проходит внутри угла CBD, следовательно точка D лежит между точками H и M; 8) Аналогично доказывается, если AB > BC; 9) В треугольнике BHM, точка D лежит на стороне HM, значит по доказанному в задаче 12.23, отрезок BD меньше по крайней мере одного из отрезков BH или BM, но так как BD > BH, то BD < BM; 10) Если треугольник ABC-равнобедренный, то отрезки BH, BD и BM совпадают: BH=BD=BM; 11) Следовательно, в общем случае будет: BD > =BH и BD < =BM, что и требовалось доказать.
