Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 26. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности. Дано: сторона правильного многоугольника равна a, а радиус описанной окружности равен R; Найти: радиус r вписанной окружности; Решение: 1) Пусть AB-сторона данного многоугольника, а O-центр описанной около него окружности, тогда: AB=a и OA=OB=R; 2) Из точки O опустим перпендикуляр OH на сторону AB; 3) Так как O-центр многоугольника и AB перпендикулярен OH, то по свойству радиуса и касательной отрезок OH является радиусом вписанной окружности; 4) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB, значит у него высота OH является и медианой, тогда: AH=1/2 AB=a/2; 5) В прямоугольном треугольнике AHO по теореме Пифагора.
