Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 44. Внутри окружности радиуса R расположены л равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 295). Дано: внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности; Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно 1) 3; 2) 4; 3) 6; Решение: 1) Пусть O-центр окружности радиуса R, точки O1, O2, O3…On-центры остальных окружностей, а r-их радиусы; 2) Построим n-угольник с вершинами в точках O1, O2, O3…On; 3) Отметим точку M1 касания окружностей с центрами в точках O1 и O2; 4) Так как эти окружности касаются, то через точку M1 проходит их общая касательная, перпендикулярная их радиусам, значит точки O1, M1 и O2 лежат на одной прямой O1 O2, то есть на стороне n- угольника, при этом: O1 M1=O2 M1=r , значит O1 O2=2r; 5) Аналогично доказывается, что все остальные стороны n- угольника равны 2r, а точкой касания окружностей с центрами в вершинах этих сторон делятся пополам, в том числе: On O1=2r, On Mn=Mn O1=r и O2 O3=2r, O2 M2=M2 O3=r; 6) Серединные перпендикуляры двух соседних сторон n-угольника пересекаются в некоторой точке E; 7) Рассмотрим прямоугольные треугольники O1 M1 E и O1 Mn E: O1 M1=O1 Mn=r и O1 E-общая гипотенуза, значит эти треугольники равны, отсюда: угол M1 O1 E = углу Mn O1 E и M1 E=Mn E; 8) Аналогично доказывается, что: угол M1 O2 E = углу M2 O2 E и M2 E=M1 E; 9) В треугольнике O1 O2 E отрезок M1 E является медианой и высотой, значит этот треугольник равнобедренный, отсюда: угол EO1 M1 = углу M1 O2 E; угол M1 O1 E = углу Mn O1 E = углу M1 O2 E = углу M2 O2 E; угол On O1 O2 = углу O1 O2 O3; 10) Аналогично доказывается, что любые углы при соседних вершинах данного n-угольника равны, а так как все его стороны равны, то он является правильным; 11) Лучи O1 E, O2 E, …, On E являются биссектрисами n- угольника, значит точка E-его центр; 12) Окружности с центрами в точках O1 и O касаются в некоторой точке D, значит через эту точку проходит их общая касательная, перпендикулярная их радиусам, следовательно точки O1, D и O лежат на одной прямой OD: OD=R и O1 D=r, тогда O1 O=OD-O1 D=R-r; 13) Аналогично доказывается, что все остальные точки O1, O2, O3, …, On удалены от точки O на расстояние (R-r), следовательно точка O совпадает с точкой E; 14) Радиус окружности, описанной около n-угольника: OO1=an/(2•sin(180°)/n?)=2r/(2•sin(180°)/n?)=r/sin(180°)/n? ; 15) Найдем радиус окружностей с центрами в точках O1, O2, …, On
