Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 45. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности. Дано: вне окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности; Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно 1) 3; 2) 4; 3) 6; Решение: 1) Пусть O-центр окружности радиуса R, точки O1, O2, O3…On-центры остальных окружностей, а r-их радиусы; 2) Построим n-угольник с вершинами в точках O1, O2, O3…On; 3) Как было доказано в предыдущей задаче n-угольник с вершинами в центрах равных касающихся окружностей является правильным; 4) Окружности с центрами в точках O1 и O касаются в некоторой точке D, значит через эту точку проходит их общая касательная, перпендикулярная их радиусам, следовательно точки O1, D и O лежат на одной прямой OD: OD=R и O1 D=r, тогда O1 O=OD+O1 D=R+r; 5) Аналогично доказывается, что все остальные точки O1, O2, O3, …, On удалены от точки O на расстояние (R+r), следовательно точка O является центром нашего многоугольника; 6) Радиус окружности, описанной около n- угольника.
