Рассмотрим вариант решения задания из учебника Виленкин, Жохов, Чесноков 6 класс, Мнемозина: 264. Древнегреческих, а также древнеиндийских математиков интересовали числа, которые соответствовали количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника, квадрата и др. Такие числа называли фигурными. Например, число 10 называли треугольным, число 16 — квадратным (рис. 13). Такое представление помогало древним учёным изучать свойства чисел. Используя рисунок 13, попробуйте найти ещё несколько треугольных и квадратных чисел. Какими свойствами обладают эти числа? Подумайте, как можно находить треугольные и квадратные числа, используя ряд натуральных чисел. 1) Треугольные числа – 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; … Новое треугольное число получается, если к известному треугольному числу прибавить (отнять) натуральное число на 1 больше, чем число точек в основании треугольника. По ряду натуральных чисел можно находить так: 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; 10+5=15 и т.д. Закономерность – число, которое прибавляем, увеличивается с каждым разом на 1. Треугольное число можно найти по формуле: T_n=(n(n+1))/2, где n – натуральное число. Например, пусть n=10: T_10=(10•(10+1))/2=(10•11)/2=5•11=55 – число кружков. Свойства треугольных чисел: - сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат числа; - чётность элементов последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. 2) Квадратные числа – 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; … Квадратные числа – это произведение двух одинаковых натуральных чисел, т.е. являются полными квадратами. По ряду натуральных чисел можно находить следующим образом: 4+5=9; 9+7=16; 16+9=25; 25+11=36 и т.д. Закономерность - сначала 5, затем 7, далее 9, т.е. число, которое прибавляем, каждый раз увеличивается на 2. Формула следующая: T=n^2 Свойства квадратных чисел: - каждое чётное квадратное число равно учетверённой сумме последовательных треугольных чисел: 36=4•(3+6); 64=4•(6+10). - каждое нечётное квадратное число равно сумме восьми равных треугольных чисел и 1: 25=3•8+1. 3) Пятиугольные числа: 1; 5; 12; 22; 35; 51; 70; 92; 117; 145; ... 4) Шестиугольные числа: 1; 6; 15; 28; 45; 66; 91; 120; 153; 190; …
