Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 36 1) Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника. 2) Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АВО и CDO равновеликие. Доказать: диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный параллелограмм и O-точка пересечения его диагоналей; 2) По свойству параллелограмма: AB=CD, AD=BC, AO=OC и BO=OD=1/2 BD; 3) треугольник AOB = треугольник COD по третьему признаку, значит: SAOB=SCOD; 4) треугольник AOD = треугольник COB по третьему признаку, значит: SAOD=SCOB; 5) Опустим перпендикуляр AH на диагональ BD; 6) Рассмотрим треугольники AOB и AOD: SAOB=1/2 BO•OH=1/4 BD•OH и SAOD=1/2 DO•OH=1/4 BD•OH; Следовательно: SAOB=SAOD; 9) Получаем SAOB=SCOD=SCOB=SAOD, что и требовалось доказать. II) Отобразим условие задачи: Дано: диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O; Доказать: треугольники AOB и COD равновеликие; Доказательство: 1) Из вершин B и C трапеции опустим высоты BB1 и CC1 на сторону AD, они равны как расстояния между параллельными прямыми BC и AD: BB1=CC1=h; 2) Рассмотрим треугольники ABD и DCA: SABD=1/2 AD•BB1=1/2 AD•h и SDCA=1/2 AD•CC1=1/2 AD•h; Следовательно: SABD=SDCA; 3) Треугольник ABD состоит из треугольника ABO и треугольника AOD, а треугольник DCA состоит из треугольника COD и треугольника AOD, значит: SABD=SAOB+SAOD и SACD=SCOD+SAOD; Отсюда следует, что SAOB=SCOD, что и требовалось доказать.
