Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 41. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб. Доказать: среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб; Доказательство: 1) Пусть ABCD-параллелограмм с данными диагоналями AC и BD и наибольшей площадью S; 2) По доказанному в предыдущей задаче его площадь равна: S=1/2•AC•BD•sin угла AOD; 3) Синус угла не может быть больше единицы, это следует из определения синуса острого угла как отношения противолежащего катета к гипотензуе, а также из тождества sina=sin(180°-a), которое означает, что синус любого тупого угла равен синусу, какого-нибудь острого угла; 4) Следовательно, наибольшее значение S достигается при: sin угла AOD=1, отсюда угол AOD=90°; 5) По свойству параллелограмма: AO=OC и BO=OD; 6) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны по двум катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=AD; 7) Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит он является ромбом, что и требовалось доказать.
