Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 60. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объём полученного тела вращения. Дано: равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a; Найти: объем полученного тела вращения; Решение: 1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник, тогда: AB=BC=CA=a; 2) Опустим высоту CO данного треугольника, она же будет являться его медианой, тогда: AO=BO=a/2; 3) В прямоугольном треугольнике AOC по теореме Пифагора: OC^2=AC^2-AO^2=a^2-a^2/4=(3a^2)/4; 4) Рассмотрим тело F полученное вращением треугольника ABC вокруг стороны AB, оно представляет собой два конуса с общим основанием, радиусом которого является отрезок OC, и равными высотами AO и BO, значит объемы этих двух конусов равны; 5) Следовательно, объем тела F равен удвоенному объему одного из этих конусов: V=2•1/3•Пи•OC^2•OA=2/3 Пи•(3a^2)/4•a/2=(Пиa^3)/4; Ответ: (Пиa^3)/4.
