Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника. 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника. Доказать: середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами сторон равнобедренного треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AC, тогда AB=BC и угол BAC = углу BCA; 2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда: AB1=B1 C и AC1=C1 B=A1 B=A1 C; 3) Треугольники AC1 B1 и CA1 B1 равны по первому признаку, значит C1 B1=B1 A1, то есть треугольник A1 C1 B1-равнобедренный, что и требовалось доказать. 2) Отобразим условие задачи: Доказать: середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами сторон равностороннего треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-равносторонний треугольник с основанием, тогда AB=BC=CA и угол BAC = углу BCA = углу CBA (по доказанному в задаче 12); 2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда: AB1=B1 C=CA1=A1 B=BC1=C1 A; 3) Треугольники B1 C1 A, B1 A1 C и C1 A1 B равны по первому признаку, значит A1 B1=B1 C1=C1 A1, то есть треугольник A1 B1 C1-равносторонний, что и требовалось доказать.
