Рассмотрим вариант решения задания из учебника Виленкин, Жохов, Чесноков 6 класс, Просвещение: Найдите наибольший общий делитель всех двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами. Запись двузначных чисел состоит из двух цифр. Определим двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 Разложим каждое из них на простые множители и подчеркнём одинаковые множители. 11=11 22=2•11 33=3•11 44=2•2•11 55=5•11 66=2•3•11 77=7•11 88=2•2•2•11 99=3•3•11 Найдём наибольший общий делитель (НОД) всех этих чисел. НОД (11,22,33,44,55,66,77,88,99)=11 ) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа? 2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа? 1) а) Возьмём для примера произвольные числа 6 и 8. Для того, чтобы числа 6 и 8 были взаимно простыми, их наибольший общий делитель должен быть равен 1. Но оба эти числа точно делятся на 2. НОД (6,8)=2>1 Вывод – два чётных числа не могут быть взаимно простыми. б) Возьмём для примера произвольные числа 2 и 3. Для того, чтобы числа 2 и 3 были взаимно простыми, их наибольший общий делитель должен быть равен 1. НОД (2,3)=1 Вывод – чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми. в) Возьмём для примера произвольные числа 13 и 61. Для того, чтобы числа 13 и 61 были взаимно простыми, их наибольший общий делитель должен быть равен 1. НОД (13,61)=1 Вывод – два простых числа могут быть взаимно простыми. г) Возьмём для примера произвольные числа 7 и 9. Число 7 является простым числом. Число 9 является составным числом. НОД (7,9)=1 Вывод – простое и составное числа могут быть взаимно простыми. д) Два последовательных натуральных числа всегда будут взаимно простыми. Например, 13 и 14 – пара взаимно простых чисел, так же как 14 и 15. Так как НОД (13,14)=1, НОД (14,15)=1. Вывод – последовательные натуральные числа всегда взаимно простые. 2) а) Возьмём для примера произвольные числа 6 и 8. Для того, чтобы числа 6 и 8 были взаимно простыми, их наибольший общий делитель должен быть равен 1. Но оба эти числа точно делятся на 2. НОД (6,8)=2>1 Вывод – два чётных числа не могут быть взаимно простыми. б) Для примера возьмём числа 20 и 35. Число 20 является чётным. 20=2•2•5 . Число 35 является нечётным. 35=5•7 НОД (20,35)=5>1 Значит, 20 и 35 не являются взаимно простыми числами. Вывод – чётное и нечётное числа не всегда взаимно простые. в) Два различных простых числа имеют только один общий делитель равный 1. Он же является и их наибольшим общим делителем. Так как рассматриваем два различных простых числа, то других общих делителей у них нет. Вывод – два различных простых числа всегда взаимно простые. г) Возьмём для примера произвольные числа 7 и 9. Число 7 является простым числом. Число 9 является составным числом. НОД (7,9)=1 Вывод – простое и составное числа могут быть взаимно простыми. А, например, пара чисел 2 и 4 – не взаимно простые числа. НОД (2,4)=2>1 д) Два последовательных натуральных числа всегда будут взаимно простыми. Например, 13 и 14 – пара взаимно простых чисел, так же как 14 и 15. Так как НОД (13,14)=1, НОД (14,15)=1. Вывод – последовательные натуральные числа всегда взаимно простые.
