Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 447. Доказываем. Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1. Докажите. Пусть дано число a. a:9=b (ост.1) или a:9=b (ост.8). Следовательно: a=9b+1 или a=9b+8. Докажем: (9b+1)^2/9=(81b^2+18b+1)/9 Так как числа 81 и 18 делятся нацело на 9, то остаток будет 1. (9b+8)^2/9=(81b^2+144b+64)/9 Числа 81 и 144 делятся нацело на 9. Число 64 делится на 9 с остатком: 64:9=7 (ост.1). Таким образом, квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1. Что и требовалось доказать.
