Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность. Доказать: геометрическое место вершин прямых углов, которые проходят через две данные точки, есть окружность; Доказательство: 1) Пусть A и B-данные точки; 2) Отметим точку O-середину отрезка AB; 3) Возьмем какую-нибудь точку M, удовлетворяющую условию, тогда: угол AMB=90°; 4) Так как AO=OB, то отрезок MO является медианой прямоугольного треугольника AMB, опущенной на гипотенузу, тогода по доказанному в задаче 11.53: MO=AO=OB; 5) Таким образом, расстояние MO не зависит от выбранной точки M, значит все такие точки равноудалены от середины отрезка AB, то есть геометрическое место этих точек является окружностью по определению, что и требовалось доказать.
