Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 11. Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны. Доказать: у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны; Доказательство: 1) Пусть стороны описанного четырехугольника ABCD касаются окружности с центром в точке O в точках: K, L, M и N; 2) Отрезки AB, BC, CD и DA являются касательными к окружности, а отрезки OK, OL, OM и ON являются ее радиусами, следовательно: AB?OK, BC?OL, CD?OM и DA?ON; 3) Прямоугольные треугольники AKO и ANO равны по гпотенузе и катету (AO-общая гипотенуза и OK=OL=R), отсюда: AK=AN; 4) Аналогично, через равенства прямоугольных треугольников треугольник BKO= треугольник BLO, треугольник CLO = треугольник CMO и треугольник DMO= треугольник DNO, доказывается, что: BK=BL, CL=CM и DM=DN; 5) Получаем: (AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC), то есть AB+CD=AD+BC, что и требовалось доказать.
