Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 15. Докажите, что середины сторон правильного n- угольника являются вершинами другого правильного n- угольника. Доказать: середины сторон правильного n- угольника являются вершинами другого правильного n- угольника; Даказательство: 1) Пусть A1 A2 A3…An-данный правильный n- угольник, у него все стороны и все внутренние углы равны; 2) Соединим середины B1, B2, …, Bn сторон данного многоугольника, так как всего сторон n, то получим n- угольник; 3) Рассмотрим равнобедренные треугольники B1 A2 B2, B2 A3 B3 и B3 A4 B4: угол A2 = углу A3 = углу A4 и B1 A2=A2 B2=B2 A3=A3 B3=B4 A4=A4 B4; Значит, эти три треугольника равны по первому признаку, отсюда: B1 B2=B2 B3=B3 B4; 4) Из равенств: угол B1 B2 B3=180°- угол B1 B2 A2- угол A3 B2 B3; угол B2 B3 B4=180°- угол B2 B3 A3- угол A4 B3 B4; Следует, что углы B1 B2 B3 и B2 B3 B4 равны; 5) Аналогично доказывается, что любые две стороны полученного n- угольника равны, и углы между его соседними сторонами тоже равны, значит этот многоугольник является правильным по определению, что и требовалось доказать.
