Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2n- угольника являются вершинами правильного n- угольника. Доказать: взятые через одну вершины правильного 2n- угольника являются вершинами правильного n- угольника; Даказательство: 1) Пусть A1 A2 A3…A2n-данный правильный 2n- угольник, у него все стороны и все внутренние углы равны; 2) Соединим вершины данного многоугольника через одну, так как всего вершин 2n, то получим n- угольник; 3) Рассмотрим равнобедренные треугольники A1 A2 A3, A3 A4 A5 и A5 A6 A7: угол A2 = углу A4 = углу A6 и A1 A2=A2 A3=A3 A4=A4 A5=A5 A6=A6 A7; Значит, эти три треугольника равны по первому признаку, отсюда: A1 A3=A3 A5=A5 A7; 4) Так как угол A2 A3 A4 = углу A4 A5 A6, то из равенств: угол A1 A3 A5 = углу A2 A3 A4- угол A1 A3 A2- угол A5 A3 A4; угол A3 A5 A7 = углу A4 A5 A6- угол A3 A5 A4- угол A7 A5 A4; Следует, что углы A1 A3 A5 и A3 A5 A7 равны; 5) Аналогично доказывается, что любые две стороны полученного n- угольника равны, и углы между его соседними сторонами тоже равны, значит этот многоугольник является правильным по определению, что и требовалось доказать.
