Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 29. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон. Выразить: сторону a правильного вписанного многоугольника, через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоуголь- ника с тем же числом сторон; Решение: 1) Так как один многоугольник вписан в ту же окружность, около которой описан второй многоугольник, то эти многоугольники имеют общий центр (центр этой окружности), обозначим его как точку O; 2) Пусть отрезок A1 B1=a-сторона вписанного многоугольника, а отрезок A2 B2=b-сторона описанного многоугольника; 3) OA1=OB1=R и OA2=OB2 (так как O центр многоугольников); 4) Данные многоугольники правильные и имеют одинаковое число сторон, значит их центрльные углы равны: угол A1 OB1 = углу A2 OB2; 5) Опустим перпендикуляр OH1 на отрезок A1 B1 и перпендикуляр OH2 на отрезок A2 B2; 6) Отрезок OH2 перпендикулярен стороне описанного многоугольника, значит по свойству касательной и радиуса, он является радисом данной окружности: OH2=R; 7) Треугольник OA2 B2-равнобедренный с основанием A2 B2, значит его высота OH2 является медианой и биссектрисой, тогда: A2 H2=1/2 A2 B2=b/2 и угол A2 OH2=1/2 угол A2 OB2; 8) Треугольник OA1 B1-равнобедренный с основанием A1 B1, значит его высота OH1 является медианой и биссектрисой, тогда: A1 H1=1/2 A1 B1=a/2 и угол A1 OH1=1/2 угол A1 OB1; 9) В прямоугольном треугольнике OH1 A1 по теореме Пифагора: OH1=v(OA1^2-A1 H1^2)=v(R^2-(a/2)^2)=v(R^2-a^2/4); 10) Прямоугольные треугольники OH1 A1 и OH2 A2 подобны по острому углу (угол A1 OH1 = углу A2 OH2)
