Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 33. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит её боковую сторону в отношении 9:4. Найдите среднюю линию трапеции. Дано: равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм; точка касания делит боковую сторону в отношении 9:4; Найти: среднюю линию трапеции; Решение: 1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC, стороны которой равны: AD=a, BC=b и AB=CD=c; 2) По свойству описанного четырехугольника: AD+BC=AB+CD, то есть a+b=2c; 3) По теореме 6.8 средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (AD+BC)/2=(a+b)/2=2c/2=c, то есть в данном случае боковой стороне; 4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB: угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы); 5) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности, так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной трапеции, значит: OA-биссектриса угла A и OB биссектриса угла B; 6) Пусть угол A=Альфа, тогда угол B=180°-Альфа; 7) Рассмотрим треугольник BOA: угол BAO=1/2 угол A=Альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-Альфа/2; угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-Альфа/2-90°+Альфа/2=90°; 8) Опустим из точки O перпендикуляр OE на сторону AB, тогда: OE=r=12 дм и AE:BE=9:4; 9) Пусть одна часть боковой стороны равна x, тогда: AE=9x и BE=4 x; 10) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой, опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB. 11) Найдем длину средней линии
