Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 32. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение? Доказать: около равнобокой трапеции можно описать окружность и наоборот: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC; 2) Как было доказано в задаче 6.60, углы при основаниях равнобокой трапеции равны, значит: угол A = углу D и угол B = углу C; 3) угол A+ угол C = углу B+ угол D, значит около равнобокой трапеции можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника, что и требовалось доказать. 4) Обратно: пусть около трапеции ABCD с основаниями AD и BC можно описать окружность, тогда по свойству вписанного четырехугольника: угол A+ угол C = углу B+ угол D=180°; 5) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую CD: угол C+ угол D=180° (как внутренние односторонние углы); 6) угол A+ угол C = углу C+ угол D=180°, отсюда угол A = углу D; 7) Через точку C проведем прямую, параллельную прямой AB и пересекающую основание AD в точке E; 8) Четырехугольник ABCE-параллелограмм, значит: AB=CE; 9) Рассмотрим параллельные прямые AB и CE и секущую AE: угол A = углу CED (как соответственные углы), тогда угол D = углу A = углу CED; 10) Треугольник ACD-равнобедренный с основанием ED, отсюда: CE=CD, тогда AB=CE=CD, значит трапеция ABCD-равнобокая, что и требовалось доказать.
