Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 40. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Доказать: если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и O-точка пересечения его диагоналей; 2) Примем острый угол между диагоналями AC и BD равным альфа: угол DOC=угол AOB=альфа (вертикальные углы); 3) На сторону AC опустим высоту BE треугольника ABC; 4) Рассмотрим прямоугольный треугольник BOE: sin?угол AOB=BE/OB, отсюда BE=OB•sin угла AOB= BO•sinальфа; 5) На сторону AC опустим высоту DF треугольника ADC; 6) Рассмотрим прямоугольный треугольник DOF: sin?угол DOC=DF/OD, отсюда DF=OD•sin угла DOC=OD•sin?альфа; 7) Площадь данного четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ADC: S=SABC+SADC; S=1/2 AC•BE+1/2 AC•DF=1/2 AC•BO•sinальфа+1/2 AC•DO•sinальфа= =1/2 AC•(BO+OD)•sinальфа=1/2 AC•BD•sinальфа, Что и требовалось доказать.
