Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна h. Дано: прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам; высота треугольника равна h; Найти: расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота; Решение: 1) Пусть ABC-данный треугольник, BH=h-высота и M-точка пересечения данной прямой и ысоты BH; 2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами треугольника ABC, тогда по условию задачи: SEBF/SABC =1/2; 3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF перпендикулярен AC; 4) Рассмотрим параллельные прямые EF?AC и секущую AB: угол BAC=угол BEF (как соответственные углы); 5) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит: (EB/AB)^2= SEBF/SABC =1/2, отсюда EB/AB=1/v2; 6) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит: BM/BH=EB/AB=1/v2, отсюда BM=BH/v2=h/v2; Ответ: h/v2.
