Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. Доказать: в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой; Доказательство: 1) Пусть a и b-катеты, а c-гипотенуза прямоугольного треугольника; 2) Площадь прямоугольного треугольника равна: S=1/2•ab; 3) По теореме Пифагора: c^2=a^2+b^2; 4) Найдем радиус вписанной окружности по формуле из задачи 14.42: r=2S/(a+b+c)=ab/(a+b+c)=(ab•(a+b-c))/((a+b+c)•(a+b-c) )=(ab•(a+b-c))/((a+b)^2-c^2 )= =(ab•(a+b-c))/(2ab+a^2+b^2-c^2 )=(ab•(a+b-c))/2ab=(a+b-c)/2, Что и требовалось доказать.
