Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника? Дано: через середину высоты треугольника проведена прямая, перпендикулярная к ней; Найти: в каком отношении эта прямая делит площадь треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник, BH-высота и точка M-середина высоты BH, тогда по условию задачи: BM/BH=1/2; 2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами треугольника ABC; 3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF||AC; 4) Рассмотрим параллельные прямые EF||AC и секущую AB: угол BAC=угол BEF (как соответственные углы); 5) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит: EB/AB=BM/BH=1/2; 6) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит: BF/BC=EB/AB=1/2; 7) Значит площади этих треугольников относятся как: SEFB/SABC =(BF/BC)^2=(1/2)^2=1/4; Ответ: 1:4.
