Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 7. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1,а сторону ВС — в точке B1. Найдите длину отрезка А1В1,если: 1) АВ = 15 см, АА1: АС - 2:3; 2) АВ = 8 см, АА1: А1С =5:3; 3) В1С = 10 см, АВ : ВС = 4:5; 4) АА1 = а, АВ = b, А1С = с. Дано: плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC треугольника ABC в точке A1,а сторону BC-в точке B1; Найти: длину отрезка A1 B1; Решение: Согласно теореме 15.1 через точки A, B и C можно провести плоскость Альфа; Тогда по теореме 15.2 прямые AB, BC и AC лежат в плоскости Альфа, а значит и отрезки AB, BC и AC лежат в этой плоскости; Пусть Бетта-плоскость, параллельная прямой AB, которая пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1,а сторону BC-в точке B1; Прямая A1 B1 лежит в плоскости Бетта, значит она параллельна прямой AB; Точки A1 и B1 лежат на отрезках AC и BC, значит они принадлежат плоскости Альфа, тогда и прямая A1 B1 принадлежит плоскости Альфа; Таким образом, в треугольнике ABC прямая A1 B1 проходит параллельно основанию AB; Рассмотрим параллельные прямые AB и A1 B1 и секущую AC: BAC=B1A1C (как соответственные углы); Тогда треугольник ABC подобен треугольнику ?A1 B1 C по двум углам (угол C-общий), отсюда: AB/(A1 B1 )=BC/(B1 C)=AC/(A1 C);
