Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 11. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. Дано: через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника; Доказать: все точки этой прямой равноудалены от вершин треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник и точка O-центр описанной около него окружности, тогда: AO=BO=CO=R; 2) Возьмем произвольную точку X на прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку O; 3) По определению прямой, перпеникулярной плоскости, прямая XO перпендикулярна прямым AO, BO и CO; 4) Прямоугольные треугольники AOX, BOX и COX равны по двум катетам (XO-общая сторона), отсюда следует равенство их гипотенуз AX=BX=CX, что и требовалось доказать.
