Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают. Доказать: центр вписанной в равносторонний треугольник окружности совпадает с центром окружности, описанной около этого треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник; 2) Проведем биссектрисы AA1 и CC1, они пересекутся в точке O, которая является центром вписанной в треугольник окружности (теорема 5.2); 3) Так как треугольник равносторонний, то биссектрисы AA1 и CC1 являются также медианами и высотами, тогда AA1 и CC1-серединные перпендикуляры сторон CB и AB, значит точка их пересечения O является центром описанной около треугольник ABC окружности, что и требовалось Доказать.
