Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС, равный отрезку АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке. I) Отобразим услоие задачи: Дано: через точку A окружности проведена прямая, не касающаяся окружности, OB-перпендикуляр, опущенный на данную прямую, на продолжении AB отложен отрезок BC=AB; Доказать: точка C лежит на окружности; Доказательство: 1) Отрезок OB перпендикулярен отрезку AC, значит он является высотой треугольника AOC; 2) AB=BC, значит отрезок OB является медианой треугольника AOC; 3) Так как в треугольнике AOC высота и медиана совпадают, то он является равнобедренным, значит AO=OC; 4) Точка C удалена от центра окружности также, как и точка A, лежащая на окружности, значит точка C также лежит на окружности, что и требовалось доказать. II) Доказать: если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке; Доказательство: 1) Пусть дана окружность с центром в точке O и прямая, которая имеет с окружностью общую точку A; 2) Допустим, что прямая не является касательной к окружности, значит они не перпендикулярны, тогда к ней можно провести перпендикуляр OB, не совпадающий с отрезком OA, а на продолжении отрезка AB отложить отрезок BC=AB; 3) Тогда согласно пункту I этой задачи, прямая имеет с окружностью еще одну общую точку C, что противоречит условию задачи, следовательно предположение неверно и прямая является касательной к окружности в точке A, что и требовалось доказать. III) Отобразим условие задачи. Доказать: если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке; Доказательство: 1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 имеют общую точку A; 2) Допустим, что точки O, A и O1 не лежат на одной прямой, тогда можно построить треугольник OA1 O1, так чтобы точки A и A1 лежали по разные стороны от прямой OO1; 3) Так как треугольник OA1 O1=треугольник OAO1, то OA1=OA и O1 A1=O1 A, то есть точка A1 лежит на обеих окружностях, то есть является их пересечением, что противоречит условию задачи, значит допущение неверно и точки O, A и O1 лежат на одной прямой; 4) Тогда к прямой OO1 в точке A можно построить перпендикулярную прямую, то есть общую касательную к обеим окружностям, значит данные окружности касаются в точке A, что и требовалось доказать.
