Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 19. Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник; 2) Проведем биссектрисы углов A и B они пересекутся в некоторой точке O, тогда угол CAO = углу OAB и угол CBO = углу OBA; 3) Из точки O опустим перпендикуляры OA1, OB1 и OC1 на стороны треугольника ABC; 4) Прямоугольные треугольники AOB1 и AOC1 равны по гипотенузе и острому углу (AO-общая гипотенуза), отсюда OB1=OC1; 5) Прямоугольные треугольники BOA1 и BOC1 равны по гипотенузе и острому углу (BO-общая гипотенуза), отсюда OC1=OA1; 6) Таким образом, точки A1, B1 и C1 равноудалены от точки O, значит они принадлежат одной окружности, а стороны треугольника ABC являются касательными к этой окружности, то есть в треугольник ABC можно вписать окружность; 7) Прямоугольные треугольники COB1 и COA1 равны по катету и гипотенузе (CO-общая гипотенуза), отсюда угол B1 CO = углу A1 CO, то есть точка O лежит на биссектрисе угла C; 8) Таким образом, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, а так как центр вписанной окружности является точкой пере- сечения биссектрис треугольника, то он может быть только один, что и требовалось доказать.
