Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 35. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей? Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах параллелограмма; Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от нее до всех данных пунктов была наименьшей; Решение: 1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D параллелограмма ABCD; 2) Отметим точку O-середину параллелограмма ABCD, то есть центр его симметрии; 3) Согласно задаче 9.8 точка O является точкой пересечения диагоналей; 4) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD; 5) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O; 6) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC > AC; 7) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD > BD; 8) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в любом случае: XA+XB+XC+XD > AC+BD; 9) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая; Ответ: в центре параллелограмма.
