Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника? Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах выпуклого четрыехугольника; Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от нее до всех данных пунктов была наименьшей; Решение: 1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D произвольного выпуклого четырехугольника ABCD; 2) Отметим точку O на пересечении диагоналей AC и BD; 3) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD; 4) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O; 5) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC > AC; 6) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD > BD; 7) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в любом случае: XA+XB+XC+XD > AC+BD; 8) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая; Ответ: в точке пересечения диагоналей четырехугольника.
