Рассмотрим вариант решения задания из учебника Виленкин, Жохов, Чесноков 6 класс, Просвещение: Найдите корень уравнения: а) 1/9 x + 4/9 x = 3 1/18; в) n + 5/14 n = 1/7; д) 2/7 c + 2/3 c - 11/21 c = 3 1/2; б) 5/7 y + 2/3 y - 4 = 1/7; г) y - 1/9 y = 5 1/3; е) 5/8 x + x - 3/4 x = 1 3/4. При вычислениях опираемся на следующие правила: - для того, чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо делимое умножить на число, обратное делителю, то есть у делителя нужно поменять местами числитель и знаменатель. - произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей. - для того, чтобы выполнить умножение (деление) смешанных чисел, необходимо записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения (деления) дробей. При этом, прежде, чем перемножить числа, выполняем сокращение. - для того, чтобы найти сумму (разность) двух дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним. - для того, чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, необходимо привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) полученные дроби. - для того, чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, необходимо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать, как целую часть смешанного числа, а остаток – как числитель его дробной части. - для того, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в её знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа. Используем распределительные свойства умножения относительно сложения и вычитания, то есть выносим одинаковый множитель за скобки. а) 1/9 x+4/9 x=3 1/18 (1/9+4/9)x=3 1/18 (1+4)/9 x=3 1/18 5/9 x=55/18 Неизвестен множитель x. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим x=55/18 :5/9 x=55/18•9/5 x=(55•9)/(18•5) x=(5•11•9)/(2•9•5) x=11/2 x=5,5 б) 5/7 y+2/3 y-4=1/7 (5/7+2/3)y-4=1/7 ((5•3)/(7•3)+(2•7)/(3•7))y-4=1/7 (15/21+14/21)y-4=1/7 (15+14)/21 y-4=1/7 29/21 y-4=1/7 Решаем уравнение относительно вычитания, то есть неизвестно уменьшаемое 29/21 y. Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое, получим 29/21 y=1/7+4 29/21 y=4 1/7 29/21 y=29/7 Теперь решаем уравнение относительно произведения, то есть неизвестен множитель y. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим y=29/7 :29/21 y=29/7•21/29 y=(29•21)/(7•29) y=(29•3•7)/(7•29) y=3/1 y=3 в) n+5/14 n=1/7 1•n+5/14 n=1/7 (1+5/14)n=1/7 1 5/14 n=1/7 19/14 n=1/7 Неизвестен множитель n. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим n=1/7 :19/14 n=1/7•14/19 n=(1•14)/(7•19) n=(2•7)/(7•19) n=2/19 г) y-1/9 y=5 1/3 1•y-1/9 y=5 1/3 (1-1/9)y=5 1/3 (9/9-1/9)y=5 1/3 (9-1)/9 y=5 1/3 8/9 y=16/3 Неизвестен множитель y. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим y=16/3 :8/9 y=16/3•9/8 y=(16•9)/(3•8) y=(2•8•3•3)/(3•8) y=6/1 y=6 д) 2/7 c+2/3 c-11/21 c=3 1/2 (2/7+2/3-11/21)c=3 1/2 ((2•3)/(7•3)+(2•7)/(3•7)-11/21)c=3 1/2 (6/21+14/21-11/21)c=3 1/2 (6+14-11)/21 c=3 1/2 9/21 c=7/2 (3•3)/(3•7) c=7/2 3/7 c=7/2 Неизвестен множитель c. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим c=7/2 :3/7 c=7/2•7/3 c=(7•7)/(2•3) c=49/6 c=8 1/6 е) 5/8 x+x-3/4 x=1 3/4 5/8 x+1•x-3/4 x=1 3/4 (5/8+1-3/4)x=1 3/4 (5/8+8/8-(3•2)/(4•2))x=1 3/4 (5/8+8/8-6/8)x=1 3/4 (5+8-6)/8 x=1 3/4 7/8 x=7/4 Неизвестен множитель x. Для того, чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель, получим x=7/4 :7/8 x=7/4•8/7 x=(7•8)/(4•7) x=(7•2•4)/(4•7) x=2/1 x=2 Решите уравнение: а) 2/3 x = 1; в) 0,4a = 1; д) 7/25 x = 7/25; б) 51/62 y = 1; г) 0,9b = 1; е) 13/6 y = 13/6. Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. В каждом из уравнений а), б), в) и г) при умножении двух чисел получается 1, значит, множители должны быть взаимно обратными числами. Две обыкновенные дроби будут взаимно обратными, если числитель первой дроби равен знаменателю второй дроби и знаменатель первой дроби равен числителю второй дроби. Для того, чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, необходимо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток – как числитель его дробной части. а) 2/3 x=1 Дроби 2/3 обратной будет дробь 3/2 , так как 2/3•3/2=(2•3)/(3•2)=1/1=1 Значит, в уравнении 2/3 x=1 решением будет x=3/2 , при том дробь 3/2 - неправильная, так как 3>2, значит, из неё можно выделить целую часть, то есть представить её в виде смешанного числа. 3:2=1 (ост.1), поэтому, 3/2=1 1/2 . Следовательно, x=1 1/2 . б) 51/62 y=1 Дроби 51/62 обратной будет дробь 62/51 , так как 51/62•62/51=(51•62)/(62•51)=1/1=1 Значит, в уравнении 51/62 x=1 решением будет x=62/51 , при том дробь 62/51 - неправильная, так как 62>51, значит, из неё можно выделить целую часть, то есть представить её в виде смешанного числа. 62:51=1 (ост.11), поэтому, 62/51=1 11/51 . Следовательно, x=1 11/51 . в) Для того, чтобы найти число обратное десятичной дроби, необходимо эту дробь преобразовать в обыкновенную дробь, у которой в знаменателе стоит единица с нулями (количество нулей в знаменателе равно числу цифр после запятой в десятичной дроби). Тогда, 0,4=4/10=(2•2)/(2•5)=2/5 . Следовательно, уравнение 0,4a=1 можно записать в виде 2/5 a=1 Дроби 2/5 обратной будет дробь 5/2 , так как 2/5•5/2=(2•5)/(5•2)=1/1=1 Значит, в уравнении 2/5 a=1 , то есть в уравнении 0,4a=1 , решением будет a=5/2 , при том дробь 5/2 - неправильная, так как 5>2, значит, из неё можно выделить целую часть, то есть представить её в виде смешанного числа. 5:2=2 (ост.1), поэтому, 5/2=2 1/2 . Следовательно, a=2 1/2 . г) Для того, чтобы найти число обратное десятичной дроби, необходимо эту дробь преобразовать в обыкновенную дробь, у которой в знаменателе стоит единица с нулями (количество нулей в знаменателе равно числу цифр после запятой в десятичной дроби). Тогда, 0,9=9/10 . Следовательно, уравнение 0,9b=1 можно записать в виде 9/10 b=1 Дроби 9/10 обратной будет дробь 10/9 , так как 9/10•10/9=(9•10)/(10•9)=1/1=1 Значит, в уравнении 9/10 b=1 , то есть в уравнении 0,9b=1 , решением будет b=10/9 , при том дробь 10/9 - неправильная, так как 10>9, значит, из неё можно выделить целую часть, то есть представить её в виде смешанного числа. 10:9=1 (ост.1), поэтому, 10/9=1 1/9 . Следовательно, b=1 1/9 . д) При решении уравнения 7/25 x=7/25 опираемся на то, что при умножении единицы на любое число, получим равное ему число, значит, 7/25•1=7/25 . Следовательно, x=1. е) При решении уравнения 13/6 y=13/6 опираемся на то, что при умножении единицы на любое число, получим равное ему число, значит, 13/6•1=13/6 . Следовательно, y=1.
