Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 22. У треугольника ABC угол С тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне АС, а точка У — на стороне ВС, то XY < АВ. Дано: треугольник ABC; угол C-тупой; точка X лежит на стороне AC; точка Y лежит на стороне BC; Доказать: XY < AB; Доказательство: 1) Как было доказано в предыдущей задаче: BX < AB; 2) Из точки X опустим перпендикуляр XH на прямую BC; 3) Угол C тупой, значит точка H лежит по другую сторону от точки B относительно точки C, так как иначе в треугольнике XCH был бы только один острый угол, что невозможно; 3) Точка Y лежит между точками C и B, значит: HY=HC+CY и HB=HC+CY+YB, следовательно HY < YB; 4) HY-проекция наклонной XY, а HB-проекция наклонной XB на прямую BC, значит по теореме о наклонных, проведенных из одной точки, и их проекциях: XY < BX; 5) XY < BX и BX < AB, значит XY < AB, что и требовалось доказать.
