Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 16. Решите предыдущую задачу для параллелограмма. Разделить: данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину; Решение: 1) Пусть ABCD-данный данный параллелограмм. 2) По свойству параллелограмма: AB=CD и AD=BC; 3) Треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам, значит они имеют равные площади; 4) Параллелограмм ABCD состоит из этих треугольников, значит: SABCD=SABC+SCDA, отсюда SABC=SCDA=1/2 SABCD; 5) На луче CA от точки C последовательно отложим три равных отрезка CC1, C1 C2 и C2 C3 произвольной длины; 6) Проведем прямую C3 B и параллельные ей прямые, проходящие через точки C2 и C1, отметим точки B1 и B2 на пересечении этих прямых и стороны BC; 7) По теореме о пропорциональных отрезках: BB2=B2 B1=B1 C; 8) Треугольники BAB2, B2 AB1 и B1 AC имеют общую высоту, опущенную из вершины A на прямую BC, следовательно их площади равны: S(BAB2 )=S(B2 AB1 )=S(B1 AC)=1/2•1/3 BC•AH1=1/3 SABC=1/6 SABCD; 9) Проведем прямую C3 D и параллельные ей прямые, проходящие через точки C2 и C1, отметим точки D1 и D2 на пересечении этих прямых и стороны DC; 10) По теореме о пропорциональных отрезках: DD2=D2 D1=D1 C; 11) Треугольники DAD2, D2 AD1 и D1 AC имеют общую высоту, опущенную из вершины A на прямую DC, следовательно их площади равны: S(DAD2 )=S(D2 AD1 )=S(D1 AC)=1/2•1/3 DC•AH2=1/3 SADC=1/6 SABCD; 12) Таким образом: S(ABB1 )=S(BAB2 )+S(B2 AB1 )=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD; S(AB1 CD1 )=S(AB1 C)+S(AD1 C)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD; S(AD1 D)=S(AD1 D2 )+S(AD1 D)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD; 13) Прямые AB1 и AD1-искомые
