Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности. Доказать: площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности; Доказательство: 1) Пусть A1 A2 A3…An-многоугольник, описанный около окружности радиуса R с центром в точке O; 2) Периметр этого многоугольника равен: p=A1 A2+A2 A3+...+An A1; 3) Отметим точки H1, H2, …, Hn касания сторон многоугольника с окружностью; 4) Отрезки OH1, OH2, OH3, …, OHn являются радиусами окружности: OH1=OH2=...=OHn=R; 5) А так же по свойству касательной и радиуса они перпендикулярны сторонам многоугольника; 6) Многоугольник A1 A2 A3…An состоит из треугольников: A1 OA2, A2 OA3, …, An OA1 образованных его сторонами и отрезками соединяющими его вершины с точкой O, а отрезки OH1, OH2, …, OHn являются высотами этих треугольников; 5) Следовательно, площадь данного многоугольника равна: S=S(A1 OA2)+S(A2 OA3 )+...+S(An OA1 ); S=1/2 A1 A2•OH1+1/2 A2 A3•OH2+...+1/2 An A1•OHn; S=1/2 R•(A1 A2+A2 A3+...+An A1 )=p/2 R, что и требовалось доказать.
