Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 21. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной. Дано: правильная n-угольная призма; сторона основания равна a; боковое ребро равно b; Найти: полную поверхность призмы; Решение: Основаниями правильной призмы являются правильные n-угольники; Пусть AB-одна из сторон основания призмы и точка O-центр этого основания, тогда: AB=a и угол AOB=(360°)/n-центральный угол; Треугольник AOB-равнобедренный, так как AO=OB=R-радиус описанной около этого треугольника окружности; Опустим высоту OH этого треугольника, она же является биссектрисой и медианой, тогда: AH=1/2 AB=a/2 и угол AOH=1/2угол AOB=(360°)/2n=(180°)/n; Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH: tg угол AOH=AH/OH, отсюда OH=AH/(tg угол AOH)=a/(2•tg (180°)/n); Каждое основание призмы состоит из n таких треугольников, равных треугольнику AOB, значит площадь оснований равна: Sосн=2•n•SAOB=2n•1/2 AB•OH=an•a/(2•tg (180°)/n )=(na^2)/(2•tg (180°)/n); Так как правильная призма является прямой, то ее боковая поверхность состоит из n прямоугольников со сторонами a и b, значит ее площадь: Sбок=n•ab;
