Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 144). Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см? Дано: в равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямо- угольник так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие вершины-на катетах; стороны прямоугольника относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см; Найти: стороны прямоугольника; Решение: 1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого угол B=90°, AB=BC и AC=45 см, а FEA1 C1-вписанный в него прямоугольник; 2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то: угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°; 3) FEA1 C1-прямоугольник, значит: C1 F перпендикулярен FE и A1 E перпендикулярен EF; 4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AFC1: угол F=90° и угол A=45°, значит угол C1=90°-45°=45°, следовательно этот треугольник равноберенный, отсюда AF=FC1; 5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CEA1: угол E=90° и угол C=45°, значит угол A1=90°-45°=45°, следовательно этот треугольник равноберенный, отсюда CE=EA1; 6) Примем единичный отрезок за x, тогда стороны FEA1 C1 равны: C1 F=EA1=2x и C1 A1=FE=5x; 7) AC=AF+FE+EC=C1 F+FE+EA1=2x+5x+2x=9x; 9x=45, отсюда x=45/9=5 см; 8) C1 F=EA1=2•5=10 см и C1 A1=FE=5•5=25 см; Ответ: 10 см и 25 см.
