Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 75. В общем случае на окружности Эйлера лежат девять точек (середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника). Сколько различных точек из них лежит на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника? Найти: сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника; Решение: 1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник; 2) Проведем высоты AA1, BB1 и CC1, они являются также и медианами, следовательно точки A1, B1 и C1 одновременно являются и основаниями высот и серединами сторон треугольника ABC; 3) Отметим точку H на пересечении высот, она является ортоцентром треугольника ABC; 4) Отметим точки A2, B2, H2-середины отрезков AH, BH и CH; 5) Так как высоты уже пересекаются в точке H, то эти точки отличны друг от друга; 6) Таким образом, на окружности Эйлера лежат шесть различных точек: A1, A2, B1, B2, C1, C2; Ответ: шесть.
