Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 74. 1) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 2) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Доказать: 1) Любые две медианы треугольника в точке их пересечения делятся в отношении 2:1; 2) Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке; Доказательство: 1) Проведем в треугольнике ABC медианы AA1 и BB1, пересекающиеся в точке M; 2) Пусть PQ-средняя линия треугольника AMB, параллельная стороне AB; 3) Четырехугольник A1 B1 PQ-параллелограмм, так как A1 B1 ||PQ и A1 B1=PQ (как среднии линии ACB и AMB с общим основанием AB); 4) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то A1 M=MP; 5) Точка P-середина отрезка AM (по построению), значит: AP=PM=A1 M; 6) Таким образом, точка M пересечения медиан делит медиану AA1 в отношении 2:1, считая от вершины A; 7) Медиану BB1 точка M делит в таком же отношении (BQ=QM=MB1); 8) Из этого следует, что медиана, проведенная из вершины C, также проходит через точку M и делится ею в отношении 2:1, то есть все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отошении 2:1, что и требовалось доказать.
