Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 62. Докажите, что если sin альфа = sin бета, то либо aльфа = бета, либо альфа = 180° - бета. Доказать: если sina=sinбета, то либо a=бета, либо a=180°-бета; Доказательство: I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые: 1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого; 2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла sina возоастает, значит: либо sina < sinбета (если a < бета), либо sinбета < sin (если бета < a); 3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит наше допущение неверно и углы a и бета равны; II) Рассмотрим случай когда один из углов острый, а другой тупой (например a < 90° и бета > 90°): 1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°: sinбета=sin(180°-бета)=sina; 2) Так как угол бета тупой, то угол (180°-бета)-острый, а из равенства sin(180°-бета)=sina, следует что a=180°-бета; III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые: 1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°: sin(180°-a)=sina и sin(180°-бета)=sinбета; 2) По условию sin=sinбета, значит sin(180°-a)=sin(180°-бета); 3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые, а так как их синусы равны, то и эти углы также равны, тогда: 180°-a=180°-бета, отсюда a=бета; Таким образом, во всех случаях выполняется либо равенство a=бета, либо равенство a=180°-бета, что и требовалось доказать.
