Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 61. Докажите, что если cos альфа = cos бета, то aльфа = бета. Доказать: если cosa=cosбета, то a=бета; Доказательство: I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые: 1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого; 2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла cosa убывает, значит: либо cosa < cosбета (если a > бета), либо cosбета < cosa (если бета > a); 3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит наше допущение неверно и углы a и бета равны; II) Случай, когда острый только один из углов невозможен, так как из тождества cos(180°-a)=-cosa следует, что острый и тупые углы имеют противоположные знаки; III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые: 1) По свойству косинуса любого угла от 0° до 180°: cos(180°-a)=-cosa и cos(180°-бета)=-cosбета; 2) По условию cosa=cosбета, значит cos(180°-a)=cos(180°-бета); 3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые, а так как их косинусы равны, то и эти углы также равны, тогда: 180°-a=180°-бета, отсюда a=бета, что и требовалось доказать.
