Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 17. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. Доказать: прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, провеенную к его основанию, является осью симметрии треугольника; Доказательство: 1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AB и CM-его медиана, тогда: AM=MB; 2) Медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой, значит: угол ACM = углу CBM и AB перпендикулярен CM; 3) Так как AB перпендикулярен CM и AM=MB, то точки A и B симметричны относительно прямой CM; 4) Значит любая точка X отрезка AB симметрична какой-нибудь другой его точке X' относительно CM, так как все эти точки лежат на одном перпендикуляре к прямой CM, а отрезки XM < AM и X' M < BM; 5) Так как прямая CM является биссектрисой угла C, то стороны AC и CB симметричны относительно этой прямой(доказано в предыдущей задаче); 6) Таким образом, каждая точка треугольника ABC симметрична какой-нибудь другой его точке относительно медианы, проведенной к основанию, что и требовалось доказать.
