Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 18. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный. Доказать: если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный; Доказательство: Пусть дан треугольник ABC с осью симметрии a и вершина A при преобразовании симметрии относительно прямой a переходит в вершину B; I) Докажем, что a проходит через вершну C: 1) Допустим, что прямая a не проходит ни через одну из вершин треугольник ABC; 2) Если точка A прямой a переходит в точку B, то прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB; 3) Точка C переходит в какую-нибудь точку C' треугольника ABC; 4) CC' перпендикулярен a и AB перпендикулярен a, следовательно CC' ||AB; 5) Так как точка C не лежит на прямой AB, то и точка C' не лежит на этой прямой (так как AB перпендикулярен a), значит точка C' лежит на одной из сторон AC или BC; 6) То есть у треугольника ABC две стороны параллельны, что невозможно, следовательно наше предположение неверно и ось симметрии a проходит через вершину C (тогда она переходит в саму себя), что и требовалось Доказать. II) Докажем, что треугольник ABC-равнобедренный: 1) Прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB, пусть O-точка их пересечения, тогда: AO=OB и CO перпендикулярен AB; 2) Отрезок CO является медианой и высотой треугольника ABC, значит этот треугольник равнобедренный с основанием AB, что и требовалось Доказать.
