Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 15. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника. Дано: точка A находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной a; Найти: расстояние от точки A до плоскости треугольника; 1) Пусть BCD-данный равносторонний треугольник, тогда: AB=AC=AD=a; 2) Опустим из точки A перпендикуляр AO на плоскость BCD; 3) Прямоугольные треугольники AOB, AOC, AOD равны по гипотенузе и общему катету AO, отсюда следует равенство их вторых катетов: BO=CO=DO; 4) Таким образом, точка O равноудалена от вершин треугольника BCD, значит она является центром описанной около него окружности; 5) Найдем радиус этой окружности: BO=R=a/(2•sin(180°)/3)=a/(2•sin60°)=a/2•2/v3=a/v3; 6) В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора: AO=v(AB^2-BO^2 )=v(a^2-a^2/3)=v((2a^2)/3)=av(2/3); Ответ: av(2/3).
